「暑中」は二十四節気の「小暑(しょうしょ)」と「大暑(たいしょ)」にあたる期間です。
暑中に出すお見舞いの書状なので「暑中見舞い」となります。梅雨が明けた後、夏の土用（立秋前の18または19日間）の期間に送る慣わしがあります。

二十四節気の「大暑」の次の節気は「立秋(りっしゅう)」です。立秋からは暦の上で秋になり、秋になっても残っている暑さなので「残暑」となります。
実際には猛暑が続いていても、立秋以降は暑さの度合いにかかわりなく「残暑見舞い」とします。

暦が秋になる残暑見舞いには「盛夏」は使いません。「晩夏」「立秋」「葉月」などを使いましょう。
健康を祈る文によく使われる「自愛」には、身体や健康という意味も含まれるので、「お体ご自愛ください」などは厳密には重複表現となります。
猛暑の年もあれば、冷夏の年もあります。南北に長い日本は、北と南で気候が大きく変わります。暑中見舞い・残暑見舞いに限らず、季節の挨拶状は、そのときの寒暖や情感にあわせた表現を心がけてください。